সংযুক্ত কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতের বিভিন্ন সূত্র ও তাদের প্রয়োগ নিচে বিস্তারিতভাবে আলোচনা করা হলো। সংযুক্ত কোণের ক্ষেত্রে কোণটি মূল কোণের বিপরীত, সম্পূরক, সহযোজন, বা পূর্ণাঙ্গ হতে পারে। এই সূত্রগুলো বিভিন্ন কোণের ত্রিকোনমিতিক মান নির্ণয়ে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।

১. বিপরীত কোণ (\(-\theta\)) এর ত্রিকোনমিতিক অনুপাত

কোনো কোণ \(\theta\) এর বিপরীত কোণ হলে সেই কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতগুলো নিম্নরূপ হবে:

• সাইন: \(\sin(-\theta) = -\sin \theta\)
• কোসাইন: \(\cos(-\theta) = \cos \theta\)
• ট্যানজেন্ট: \(\tan(-\theta) = -\tan \theta\)
• কোট্যানজেন্ট: \(\cot(-\theta) = -\cot \theta\)
• সেকেন্ট: \(\sec(-\theta) = \sec \theta\)
• কোসেকেন্ট: \(\csc(-\theta) = -\csc \theta\)

এই সূত্রগুলো থেকে দেখা যায় যে, সাইন, ট্যানজেন্ট, কোট্যানজেন্ট এবং কোসেকেন্টের মান বিপরীত কোণে উল্টে যায়, কিন্তু কোসাইন এবং সেকেন্টের মান অপরিবর্তিত থাকে।

২. সম্পূরক কোণ (\(90^\circ - \theta\)) এর ত্রিকোনমিতিক অনুপাত

কোনো কোণ \(\theta\) এর সম্পূরক কোণ হলে ত্রিকোনমিতিক অনুপাতগুলো নিম্নরূপ হয়:

• সাইন: \(\sin(90^\circ - \theta) = \cos \theta\)
• কোসাইন: \(\cos(90^\circ - \theta) = \sin \theta\)
• ট্যানজেন্ট: \(\tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta\)
• কোট্যানজেন্ট: \(\cot(90^\circ - \theta) = \tan \theta\)
• সেকেন্ট: \(\sec(90^\circ - \theta) = \csc \theta\)
• কোসেকেন্ট: \(\csc(90^\circ - \theta) = \sec \theta\)

সম্পূরক কোণে সাইন এবং কোসাইনের অনুপাত একে অপরের সমান হয়, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যানজেন্ট, সেকেন্ট এবং কোসেকেন্টও একে অপরের পরিপূরক হয়ে থাকে।

৩. সহযোজন কোণ (\(180^\circ - \theta\)) এর ত্রিকোনমিতিক অনুপাত

কোনো কোণ \(\theta\) এর সহযোজন কোণ হলে ত্রিকোনমিতিক অনুপাতগুলো নিম্নরূপ হয়:

• সাইন: \(\sin(180^\circ - \theta) = \sin \theta\)
• কোসাইন: \(\cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta\)
• ট্যানজেন্ট: \(\tan(180^\circ - \theta) = -\tan \theta\)
• কোট্যানজেন্ট: \(\cot(180^\circ - \theta) = -\cot \theta\)
• সেকেন্ট: \(\sec(180^\circ - \theta) = -\sec \theta\)
• কোসেকেন্ট: \(\csc(180^\circ - \theta) = \csc \theta\)

এখানে সাইন এবং কোসেকেন্টের মান অপরিবর্তিত থাকে, কিন্তু কোসাইন, ট্যানজেন্ট, কোট্যানজেন্ট এবং সেকেন্টের মান বিপরীত চিহ্ন পায়।

৪. পূর্ণাঙ্গ কোণ (\(360^\circ - \theta\)) এর ত্রিকোনমিতিক অনুপাত

কোনো কোণ \(\theta\) এর পূর্ণাঙ্গ কোণ হলে ত্রিকোনমিতিক অনুপাতগুলো নিম্নরূপ হয়:

• সাইন: \(\sin(360^\circ - \theta) = -\sin \theta\)
• কোসাইন: \(\cos(360^\circ - \theta) = \cos \theta\)
• ট্যানজেন্ট: \(\tan(360^\circ - \theta) = -\tan \theta\)
• কোট্যানজেন্ট: \(\cot(360^\circ - \theta) = -\cot \theta\)
• সেকেন্ট: \(\sec(360^\circ - \theta) = \sec \theta\)
• কোসেকেন্ট: \(\csc(360^\circ - \theta) = -\csc \theta\)

পূর্ণাঙ্গ কোণের ক্ষেত্রে, সাইন, ট্যানজেন্ট, কোট্যানজেন্ট এবং কোসেকেন্টের মান উল্টে যায়, কিন্তু কোসাইন এবং সেকেন্ট অপরিবর্তিত থাকে।

এই সূত্রগুলো ব্যবহার করে সংযুক্ত কোণের ত্রিকোনমিতিক মান দ্রুত নির্ণয় করা যায়, যা গণিতে সমীকরণ সমাধান এবং বিভিন্ন প্রয়োগে বিশেষভাবে সহায়ক।

যৌগিক কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতের সূত্রগুলো ত্রিকোণমিতিতে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে, কারণ এগুলো ব্যবহার করে দুটি বা ততোধিক কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত সহজেই নির্ণয় করা যায়। নিচে যৌগিক কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতের সূত্রাবলী ব্যাখ্যা করা হলো:

১. সাইন যোগ সূত্র \((A + B)\)

যদি \(A\) এবং \(B\) দুইটি কোণ হয়, তবে তাদের যোগফল \((A + B)\) এর জন্য সাইনের অনুপাত নিম্নরূপ হবে:

\[
\sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B
\]

২. সাইন বিয়োগ সূত্র \((A - B)\)

দুটি কোণের পার্থক্য \((A - B)\) এর জন্য সাইনের অনুপাত হবে:

\[
\sin(A - B) = \sin A \cdot \cos B - \cos A \cdot \sin B
\]

৩. কোসাইন যোগ সূত্র \((A + B)\)

দুটি কোণের যোগফল \((A + B)\) এর জন্য কোসাইনের অনুপাত:

\[
\cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B - \sin A \cdot \sin B
\]

৪. কোসাইন বিয়োগ সূত্র \((A - B)\)

দুটি কোণের পার্থক্য \((A - B)\) এর জন্য কোসাইনের অনুপাত:

\[
\cos(A - B) = \cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B
\]

৫. ট্যানজেন্ট যোগ সূত্র \((A + B)\)

দুটি কোণের যোগফল \((A + B)\) এর জন্য ট্যানজেন্টের অনুপাত:

\[
\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \cdot \tan B}
\]

৬. ট্যানজেন্ট বিয়োগ সূত্র \((A - B)\)

দুটি কোণের পার্থক্য \((A - B)\) এর জন্য ট্যানজেন্টের অনুপাত:

\[
\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \cdot \tan B}
\]

৭. কোট্যানজেন্ট যোগ সূত্র \((A + B)\)

দুটি কোণের যোগফল \((A + B)\) এর জন্য কোট্যানজেন্টের অনুপাত:

\[
\cot(A + B) = \frac{\cot A \cdot \cot B - 1}{\cot A + \cot B}
\]

৮. কোট্যানজেন্ট বিয়োগ সূত্র \((A - B)\)

দুটি কোণের পার্থক্য \((A - B)\) এর জন্য কোট্যানজেন্টের অনুপাত:

\[
\cot(A - B) = \frac{\cot A \cdot \cot B + 1}{\cot B - \cot A}
\]

এই সূত্রগুলো ব্যবহার করে যৌগিক কোণের ত্রিকোনমিতিক মান নির্ণয় করা হয়। এগুলো বিভিন্ন ত্রিকোণমিতিক সমস্যা সমাধান এবং গণিতে জটিল সমীকরণ সমাধানে বিশেষভাবে প্রয়োজনীয়।

গুণিতক কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতের সূত্রগুলো এমন কোণগুলোর জন্য ব্যবহৃত হয় যা একটি কোণের দ্বিগুণ, তিনগুণ বা অর্ধাংশের মতো হয়। গুণিতক কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতগুলো নিচে ব্যাখ্যা করা হলো:

১. দ্বিগুণ কোণের সূত্র (Double Angle Formula)

যদি \( \theta \) একটি কোণ হয়, তবে তার দ্বিগুণ \( 2\theta \) এর ত্রিকোনমিতিক অনুপাতগুলো নিম্নরূপ:

সাইন

\[
\sin(2\theta) = 2 \cdot \sin \theta \cdot \cos \theta
\]

কোসাইন

\[
\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta
\]

ট্যানজেন্ট

\[
\tan(2\theta) = \frac{2 \cdot \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}
\]

২. তিনগুণ কোণের সূত্র (Triple Angle Formula)

তিনগুণ কোণের জন্য, যদি \( \theta \) একটি কোণ হয়, তবে \( 3\theta \) এর ত্রিকোনমিতিক অনুপাত নিম্নরূপ:

সাইন

\[
\sin(3\theta) = 3 \cdot \sin \theta - 4 \cdot \sin^3 \theta
\]

কোসাইন

\[
\cos(3\theta) = 4 \cdot \cos^3 \theta - 3 \cdot \cos \theta
\]

ট্যানজেন্ট

\[
\tan(3\theta) = \frac{3 \cdot \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3 \cdot \tan^2 \theta}
\]

৩. অর্ধকোণের সূত্র (Half Angle Formula)

অর্ধকোণের ক্ষেত্রে, যদি \( \theta \) একটি কোণ হয়, তবে তার অর্ধাংশ \( \frac{\theta}{2} \) এর ত্রিকোনমিতিক অনুপাত হবে:

সাইন

\[
\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}
\]

কোসাইন

\[
\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}
\]

ট্যানজেন্ট

\[
\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}
\]

এই গুণিতক কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতগুলো বিভিন্ন ত্রিকোণমিতিক সমস্যা সমাধানে ব্যবহৃত হয় এবং বিশেষ করে জটিল সমীকরণ সমাধানে খুবই সহায়ক।

উপগুণিতক কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত বলতে বুঝায় এমন কোণগুলোর ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, যা মূল কোণের এক-তৃতীয়াংশ, এক-চতুর্থাংশ ইত্যাদি অংশ হয়। এই অনুপাত নির্ণয় করতে কিছু জটিল সম্পর্কের ব্যবহার করা হয়। নিচে উপগুণিতক কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতগুলোর কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ সূত্র আলোচনা করা হলো।

১. এক-তৃতীয়াংশ কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত

যদি \( \theta \) একটি কোণ হয়, তবে তার এক-তৃতীয়াংশ কোণ \( \frac{\theta}{3} \) এর জন্য সাইন, কোসাইন, এবং ট্যানজেন্টের সূত্রগুলি কিছুটা জটিল। তবে নিচে মূল সম্পর্কগুলো উল্লেখ করা হলো।

সাইন

\[
\sin\left(\frac{\theta}{3}\right) = \frac{3\sin \theta - 4\sin^3 \theta}{3\cos^3 \theta - \cos \theta}
\]

কোসাইন

\[
\cos\left(\frac{\theta}{3}\right) = \frac{4\cos^3 \theta - 3\cos \theta}{4 - 3\sin^2 \theta}
\]

ট্যানজেন্ট

\[
\tan\left(\frac{\theta}{3}\right) = \frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + 3 \tan^2 \theta}}
\]

২. এক-চতুর্থাংশ কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত

এক-চতুর্থাংশ কোণের অনুপাত নির্ণয়ে আরও জটিল সম্পর্কের প্রয়োজন হয়, তবে সাধারণভাবে নিচের সূত্রগুলোও উপগুণিতক কোণের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য হতে পারে:

সাইন

\[
\sin\left(\frac{\theta}{4}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}{2}}
\]

কোসাইন

\[
\cos\left(\frac{\theta}{4}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}{2}}
\]

ট্যানজেন্ট

\[
\tan\left(\frac{\theta}{4}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}{1 + \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}}
\]

এই উপগুণিতক কোণের সূত্রগুলো জটিল সমস্যা সমাধানে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। তবে এগুলোর ব্যবহার সাধারণত উচ্চতর গণিতে প্রয়োজন হয়, যেখানে নির্দিষ্ট কোণের ভগ্নাংশের ত্রিকোনমিতিক মান নির্ণয়ের জন্য প্রয়োজনীয় সম্পর্ক নির্ধারণ করা হয়।

ত্রিকোনমিতিক অভেদ বা ত্রিকোণমিতিক আইডেন্টিটিস (Trigonometric Identities) হলো কিছু নির্দিষ্ট সূত্র যা বিভিন্ন ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলির মধ্যে সম্পর্ক নির্ধারণ করে। এই অভেদগুলো বিভিন্ন ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান এবং ত্রিকোণমিতিক মান নির্ণয়ে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। নিচে কিছু গুরুত্বপূর্ণ ত্রিকোণমিতিক অভেদ ব্যাখ্যা করা হলো:

১. মৌলিক ত্রিকোনমিতিক অভেদ (Fundamental Identities)

এই অভেদগুলো ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলির মূল সম্পর্কগুলো প্রকাশ করে।

• পাইথাগোরাস অভেদ (Pythagorean Identity):
  \[
  \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
  \]

  এই সূত্র থেকে আরো দুটি সম্পর্ক নির্ণয় করা যায়:
  \[
  1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta
  \]
  \[
  1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta
  \]

২. পারস্পরিক অভেদ (Reciprocal Identities)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোর মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক বোঝায়।

• সাইন ও কোসেকেন্ট সম্পর্ক:
  \[
  \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}
  \]
• কোসাইন ও সেকেন্ট সম্পর্ক:
  \[
  \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}
  \]
• ট্যানজেন্ট ও কোট্যানজেন্ট সম্পর্ক:
  \[
  \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}
  \]

৩. অনুপাত সম্পর্ক (Quotient Identities)

ট্যানজেন্ট এবং কোট্যানজেন্টকে সাইন ও কোসাইনের সাথে সম্পর্কিত করে।

• ট্যানজেন্ট:
  \[
  \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}
  \]
• কোট্যানজেন্ট:
  \[
  \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}
  \]

৪. যোগ ও বিয়োগ অভেদ (Sum and Difference Identities)

দুটি কোণের যোগফল বা বিয়োগফলের ত্রিকোণমিতিক মান নির্ণয়ে এই অভেদগুলো ব্যবহৃত হয়।

• সাইন যোগ-বিয়োগ অভেদ:
  \[
  \sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B
  \]
  \[
  \sin(A - B) = \sin A \cdot \cos B - \cos A \cdot \sin B
  \]
• কোসাইন যোগ-বিয়োগ অভেদ:
  \[
  \cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B - \sin A \cdot \sin B
  \]
  \[
  \cos(A - B) = \cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B
  \]
• ট্যানজেন্ট যোগ-বিয়োগ অভেদ:
  \[
  \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \cdot \tan B}
  \]
  \[
  \tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \cdot \tan B}
  \]

৫. দ্বিগুণ কোণ অভেদ (Double Angle Identities)

দ্বিগুণ কোণের জন্য ত্রিকোণমিতিক মান নির্ণয়ে ব্যবহৃত হয়।

• সাইন:
  \[
  \sin(2\theta) = 2 \cdot \sin \theta \cdot \cos \theta
  \]
• কোসাইন:
  \[
  \cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta
  \]
• ট্যানজেন্ট:
  \[
  \tan(2\theta) = \frac{2 \cdot \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}
  \]

৬. অর্ধকোণ অভেদ (Half Angle Identities)

অর্ধকোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয়ে এই সূত্রগুলো ব্যবহৃত হয়।

• সাইন:
  \[
  \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}
  \]
• কোসাইন:
  \[
  \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}
  \]
• ট্যানজেন্ট:
  \[
  \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}
  \]

এই ত্রিকোণমিতিক অভেদগুলো ব্যবহার করে ত্রিকোণমিতিক মান নির্ণয় করা সহজ হয় এবং ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করা যায়।